Thứ Tư, 20 tháng 7, 2016

Đề bài:

Khuôn viên mới của một trường đại học được xây dựng trong một khu đất hình tròn.

Nhà trường nghiên cứu để đặt 7 bảng thông báo trong trường sao cho khoảng cách từ một vị trí bất kỳ trong trường đến bảng thông báo gần nhất là nhỏ nhất.

Hỏi phải đặt các bảng này ở đâu?

Ở đây cần phát biểu rõ hơn như thế này: Với mỗi điểm A thuộc khuôn viên trường, gọi d(A) là khoảng cách từ A đến bảng thông báo gần A nhất. Gọi d là giá trị lớn nhất trong các khoảng cách d(A). Ta cần xác định các vị trí của 7 bảng thông báo sao cho d nhỏ nhất. Có thể coi khu đất hình tròn có bán kính là 1km.

Giải:

Tương tự như bài toán tìm kho báu lần trước, bài toán bảng thông báo lần này cũng là một bài toán thật sự, không phải đố mẹo. Trong cách đặt tối ưu, từ một vị trí bất kỳ trong khuôn viên trường đến bảng thông báo gần nhất mất không quá 0,5 km. Cách đặt như trong hình.

Nhiều bạn đã có đáp án đúng, nhưng gần như không có ai chứng minh, có lẽ vì đây là bài toán giải trí nên ít bạn quan tâm đến chứng minh. Bài toán này thuộc về lớp bài toán nổi tiếng gọi là các bài toán phủ đĩa tròn, trong đó yêu cầu cơ bản là cho n đĩa tròn bán kính d, tìm d nhỏ nhất sao cho n đĩa này có thể phủ kín đĩa tròn đơn vị.

Trong đề bài, n được chọn bằng 7 và d có đáp án đẹp là 1/2. Chúng tôi giới thiệu một chứng minh đơn giản như sau:

Xem phạm vi bao phủ của một bảng thông báo như một đĩa tròn bán kính r, yêu cầu của bài toán tương đương với việc chỉ ra cách xếp 7 đĩa “nhỏ” này bao phủ hết đĩa “lớn” bán kính 1.0 với r nhỏ nhất có thể.

Ta thấy rằng một đĩa nhỏ chỉ có thể bao phủ một đoạn 2*arcsin(r) trên đường biên của đĩa lớn. Do vậy, nếu r < 1/2 thì arcsin(r) < pi/6, nghĩa là nếu r < 1/2 thì cả 7 đĩa nhỏ phải chạm hết vào đường biên của đĩa lớn. Lúc này, tâm của đĩa lớn sẽ không được phủ (do r < 1/2). Vì vậy, r phải lớn hơn hay bằng 1/2 và ta có cách xếp như trong hình thỏa yêu cầu.

dap-an-bai-toan-toi-uu-thu-vi-o-mot-truong-dai-hoc

TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM

Related Posts:

  • Trắc nghiệm nhanh: 'phenomenon' hay 'phenomena' Thử kiểm tra khả năng tiếng Anh của bạn về cách dùng của "phenomenon" và "phenomena" với bài quiz ngắn sau.  Nếu chưa nhận ra sự khác nhau của cặp từ trên, bạn có thể xem tại đây. Y Vân (theo Oxford Dictionar… Read More
  • 'I'm well' có đúng ngữ phápTrong câu hỏi "How are you?" (Anh khỏe không?), cách trả lời "I'm good" và "I'm well" đều đúng ngữ pháp. I'm good nhấn mạnh nhiều đến cảm xúc, trạng thái (emotional state) của người trả lời. Vì "How are you" thường được … Read More
  • 'Hậu duệ mặt trời' vào đề kiểm tra tiếng AnhĐề kiểm tra 15 phút môn tiếng Anh (dạng trắc nghiệm) với câu hỏi liên quan đến bộ phim Hậu duệ mặt trời mới được nhiều người chia sẻ. Ở câu số 13 nêu: Song Joong Ki is a well - known… in Korea and Vietnam (Tạm dịch:… Read More
  • Thứ trưởng Bộ Giáo dục: 'Cán bộ quản lý chưa chịu khó đọc' Thứ trưởng Nguyễn Vinh Hiển phát biểu tại hội thảo. Ảnh: Mạnh Tùng Ngày 24/3, tại Hội thảo khoa học về quản lý giáo dục tổ chức ở TP HCM, Thứ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo Nguyễn Vinh Hiển cho rằng, nhận thức vấn đ… Read More
  • Từ chỉ tính cách trong công việc Từ Phiên âm Nghĩa Ambitious  /æm'biʃəs/ có nhiều hoài bão, có nhiều khát vọng Articulate /ɑ:'tikjulit/ có khả năng ăn nói lưu loát Bright /brait/ sáng dạ, thông minh, nhanh trí Decisive /di'saisiv/ kiên quyết, … Read More

Bài viết theo tháng

Tin nổi bật

Đối tác: