Thứ Tư, 20 tháng 7, 2016

Đề bài:

Khuôn viên mới của một trường đại học được xây dựng trong một khu đất hình tròn.

Nhà trường nghiên cứu để đặt 7 bảng thông báo trong trường sao cho khoảng cách từ một vị trí bất kỳ trong trường đến bảng thông báo gần nhất là nhỏ nhất.

Hỏi phải đặt các bảng này ở đâu?

Ở đây cần phát biểu rõ hơn như thế này: Với mỗi điểm A thuộc khuôn viên trường, gọi d(A) là khoảng cách từ A đến bảng thông báo gần A nhất. Gọi d là giá trị lớn nhất trong các khoảng cách d(A). Ta cần xác định các vị trí của 7 bảng thông báo sao cho d nhỏ nhất. Có thể coi khu đất hình tròn có bán kính là 1km.

Giải:

Tương tự như bài toán tìm kho báu lần trước, bài toán bảng thông báo lần này cũng là một bài toán thật sự, không phải đố mẹo. Trong cách đặt tối ưu, từ một vị trí bất kỳ trong khuôn viên trường đến bảng thông báo gần nhất mất không quá 0,5 km. Cách đặt như trong hình.

Nhiều bạn đã có đáp án đúng, nhưng gần như không có ai chứng minh, có lẽ vì đây là bài toán giải trí nên ít bạn quan tâm đến chứng minh. Bài toán này thuộc về lớp bài toán nổi tiếng gọi là các bài toán phủ đĩa tròn, trong đó yêu cầu cơ bản là cho n đĩa tròn bán kính d, tìm d nhỏ nhất sao cho n đĩa này có thể phủ kín đĩa tròn đơn vị.

Trong đề bài, n được chọn bằng 7 và d có đáp án đẹp là 1/2. Chúng tôi giới thiệu một chứng minh đơn giản như sau:

Xem phạm vi bao phủ của một bảng thông báo như một đĩa tròn bán kính r, yêu cầu của bài toán tương đương với việc chỉ ra cách xếp 7 đĩa “nhỏ” này bao phủ hết đĩa “lớn” bán kính 1.0 với r nhỏ nhất có thể.

Ta thấy rằng một đĩa nhỏ chỉ có thể bao phủ một đoạn 2*arcsin(r) trên đường biên của đĩa lớn. Do vậy, nếu r < 1/2 thì arcsin(r) < pi/6, nghĩa là nếu r < 1/2 thì cả 7 đĩa nhỏ phải chạm hết vào đường biên của đĩa lớn. Lúc này, tâm của đĩa lớn sẽ không được phủ (do r < 1/2). Vì vậy, r phải lớn hơn hay bằng 1/2 và ta có cách xếp như trong hình thỏa yêu cầu.

dap-an-bai-toan-toi-uu-thu-vi-o-mot-truong-dai-hoc

TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM

Related Posts:

  • Học quản trị kinh doanh sẽ làm những việc gìHàng năm cứ vào khoảng thời gian này các bạn đang học lớp 12 lại tất bật với các kỳ thi và băn khoăn trong việc chọn trường, chọn ngành. Trong khuôn khổ bài viết này mình muốn giới thiệu với các bạn một cách cụ thể về khối ng… Read More
  • Việt Nam vượt Singapore ở hội thi Khoa học kỹ thuật quốc tếTối 15/5, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã trao thưởng cho đoàn học sinh Việt Nam dự Hội thi khoa học kỹ thuật quốc tế 2016 (Intel ISEF 2016). Năm nay, Việt Nam có 4 dự án đoạt giải Ba, tăng 3 giải so với năm 2015 (chỉ có một g… Read More
  • Việt Nam đứng đầu Đông Nam Á về huy chương Olympic Tin học châu ÁChiều 16/5, Cục Khảo thí và Kiểm định chất lượng giáo dục (Bộ Giáo dục và Đào tạo) thông báo kết quả của đoàn Việt Nam dự thi Olympic Tin học châu Á - Thái Bình Dương. Năm nay, Hàn Quốc đăng cai tổ chức với sự tham gia của 30… Read More
  • Các cách phát âm chữ K trong tiếng AnhNhưng không phải chỉ có chữ K mới được phát âm là /k/, mà như đã phân tích ở bài viết với chữ C, trong rất nhiều trường hợp cũng được phát âm là /k/. Để hiểu rõ hơn, mời bạn xem lại bài viết “Chữ C phát âm như thế nào trong t… Read More
  • Kinh nghiệm làm bài thi THPT quốc gia môn ToánTrong kỳ thi THPT quốc gia 2016, Toán là một trong 4 môn bắt buộc. Đây cũng là môn được nhiều học sinh lựa chọn để tổ hợp thành nhóm xét tuyển vào các trường đại học và cao đẳng. Vì vậy, trong khoảng hai tháng trước ngày thi,… Read More

Bài viết theo tháng

Tin nổi bật

Đối tác: