Đáp án bài toán 'truy tìm kho báu'

Đề bài:

Một nhóm bạn nhặt được bản đồ giấu kho báu với chỉ dẫn như sau:

Bắt đầu từ khu cổ mộ, đi thẳng về hướng đại giảng đường, sau đó rẽ trái 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 1.

Lại bắt đầu từ khu cổ mộ, đi thẳng về hướng của giếng nước, rẽ phải 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 2.

Kho báu được chôn ở ngay giữa hai điểm này.

Rủi thay, khi nhóm bạn đến địa điểm chôn kho báu thì khu cổ mộ đã không còn dấu tích, chỉ có thể tìm ra đại giảng đường và cái giếng.

Làm cách nào tìm ra kho báu?

Giải:

Về nguồn gốc của bài toán, nguồn xa nhất mà tôi truy tầm được là từ một kỳ thi của IIT Delhi 1991 – 1995. Đến năm 2008, bài toán được in trong quyển One Two Three... Infinity: Facts and Speculations of Sciencecủa tác giả George Gamow (Dover Books on Mathematics). Và đến giai đoạn 2010-2011, bài toán được sử dụng trong vài kỳ thi tuyển dụng ở các công ty tin học, từ đó trở nên phổ biến hơn.

Đây là một bài toán thật sự, không phải đố mẹo và có đáp án đẹp. Vị trí kho báu là một trong 2 điểm tạo thành tam giác vuông cân với đại giảng đường và giếng nước.

Chúng tôi đã nhận được nhiều lời giải đúng cho bài toán cũng như nhiều lời giải khá lý thú. Một số bạn ngộ nhận đây là toán đố nên cho rằng khi đã đến địa điểm kho báu rồi thì không cần tìm nữa, thật sự không phải vậy, vì theo đề thì nhóm bạn mới đến được vùng đất có chôn kho báu và bản đồ là để chỉ ra vị trí của nơi chôn kho báu.

Một số bạn nêu ra đề chưa chính xác, “đi thẳng về hướng đại giảng đường, sau đó rẽ trái 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 1” là đi đến giảng đường mới rẽ hay giữa đường đã rẽ. Đây quả thật là thiếu sót của chúng tôi vì ý của đề là đi đến vị trí đại giảng đường rồi mới rẽ. Tuy vậy, đa phần độc giả đã hiểu đúng ý của đề.

Về cách giải, có nhiều cách, trong đó dễ thấy có thể sau vài lần thử nghiệm với các vị trí bất kỳ thì bạn đọc sẽ thấy rằng vị trí của kho báu luôn độc lập với vị trí mộ cổ, nên sẽ tìm ra được hai vị trí có thể có kho báu. Để chứng minh bài toán với vị trí mộ cổ thay đổi thì trung điểm của 2 điểm đánh dấu là không đổi đòi hỏi nhiều thao tác phức tạp hơn, trong đó một số độc giả đã nêu quan điểm là sử dụng số phức (đây cũng chính là lời giải được George Gamow sử dụng).

Trong lời giải này, chúng tôi giới thiệu một cách giải bằng phương pháp tọa độ khá đơn giản như sau. Chúng ta hoàn toàn có thể “định vị” lại tọa độ của địa điểm tìm kho báu sao cho khu đại giảng đường là ở gốc tọa độ và trục tung sẽ là trục từ giảng đường đến vị trí của giếng nước, xem khoảng cách đơn vị chính là khoảng cách từ đại giảng đường đến giếng nước. Trong hệ tọa độ này, vị trí của đại giảng đường là (0, 0) và giếng nước sẽ là (0, 1).

Gọi vị trí chưa biết của khu mộ cổ là (x, y). Giả sử x > 0 và y > 0, ta có khi đi từ khu mộ cổ tới đại giảng đường, rẽ trái 90 độ bằng đúng cự ly đó sẽ tương ứng với điểm 1 có tọa độ là (y, -x). Đi từ khu mộ cổ tới giếng nước, rẽ phải 90 độ bằng đúng cự ly đó ta sẽ có điểm 2 có tọa độ là (1-y, x+1).

Do vậy, trung điểm của điểm 1 và điểm 2, tức vị trí kho báu, sẽ bằng 1/2(y + 1-y, -x + x+1) = (1/2, 1/2), không phụ thuộc vào (x, y).

Với các giá trị khác, ta xác định vị trí có thể có thứ 2 của kho báu là (-1/2, -1/2). Hay nói cách khác, hai vị trí có thể có của kho báu kết hợp với vị trí của giảng đường và giếng nước sẽ tạo thành một hình vuông có đường chéo là đoạn nối giảng đường và giếng nước.

TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM