Thứ Hai, 11 tháng 7, 2016

Đề bài:

Một nhóm bạn nhặt được bản đồ giấu kho báu với chỉ dẫn như sau:

Bắt đầu từ khu cổ mộ, đi thẳng về hướng đại giảng đường, sau đó rẽ trái 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 1.

Lại bắt đầu từ khu cổ mộ, đi thẳng về hướng của giếng nước, rẽ phải 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 2.

Kho báu được chôn ở ngay giữa hai điểm này.

Rủi thay, khi nhóm bạn đến địa điểm chôn kho báu thì khu cổ mộ đã không còn dấu tích, chỉ có thể tìm ra đại giảng đường và cái giếng.

Làm cách nào tìm ra kho báu?

Giải:

Về nguồn gốc của bài toán, nguồn xa nhất mà tôi truy tầm được là từ một kỳ thi của IIT Delhi 1991 – 1995. Đến năm 2008, bài toán được in trong quyển One Two Three... Infinity: Facts and Speculations of Sciencecủa tác giả George Gamow (Dover Books on Mathematics). Và đến giai đoạn 2010-2011, bài toán được sử dụng trong vài kỳ thi tuyển dụng ở các công ty tin học, từ đó trở nên phổ biến hơn.

Đây là một bài toán thật sự, không phải đố mẹo và có đáp án đẹp. Vị trí kho báu là một trong 2 điểm tạo thành tam giác vuông cân với đại giảng đường và giếng nước.

Chúng tôi đã nhận được nhiều lời giải đúng cho bài toán cũng như nhiều lời giải khá lý thú. Một số bạn ngộ nhận đây là toán đố nên cho rằng khi đã đến địa điểm kho báu rồi thì không cần tìm nữa, thật sự không phải vậy, vì theo đề thì nhóm bạn mới đến được vùng đất có chôn kho báu và bản đồ là để chỉ ra vị trí của nơi chôn kho báu.

Một số bạn nêu ra đề chưa chính xác, “đi thẳng về hướng đại giảng đường, sau đó rẽ trái 90 độ và đi bằng đúng cự ly đã đi, đánh dấu điểm đó là điểm thứ 1” là đi đến giảng đường mới rẽ hay giữa đường đã rẽ. Đây quả thật là thiếu sót của chúng tôi vì ý của đề là đi đến vị trí đại giảng đường rồi mới rẽ. Tuy vậy, đa phần độc giả đã hiểu đúng ý của đề.

Về cách giải, có nhiều cách, trong đó dễ thấy có thể sau vài lần thử nghiệm với các vị trí bất kỳ thì bạn đọc sẽ thấy rằng vị trí của kho báu luôn độc lập với vị trí mộ cổ, nên sẽ tìm ra được hai vị trí có thể có kho báu. Để chứng minh bài toán với vị trí mộ cổ thay đổi thì trung điểm của 2 điểm đánh dấu là không đổi đòi hỏi nhiều thao tác phức tạp hơn, trong đó một số độc giả đã nêu quan điểm là sử dụng số phức (đây cũng chính là lời giải được George Gamow sử dụng).

Trong lời giải này, chúng tôi giới thiệu một cách giải bằng phương pháp tọa độ khá đơn giản như sau. Chúng ta hoàn toàn có thể “định vị” lại tọa độ của địa điểm tìm kho báu sao cho khu đại giảng đường là ở gốc tọa độ và trục tung sẽ là trục từ giảng đường đến vị trí của giếng nước, xem khoảng cách đơn vị chính là khoảng cách từ đại giảng đường đến giếng nước. Trong hệ tọa độ này, vị trí của đại giảng đường là (0, 0) và giếng nước sẽ là (0, 1).

Gọi vị trí chưa biết của khu mộ cổ là (x, y). Giả sử x > 0 và y > 0, ta có khi đi từ khu mộ cổ tới đại giảng đường, rẽ trái 90 độ bằng đúng cự ly đó sẽ tương ứng với điểm 1 có tọa độ là (y, -x). Đi từ khu mộ cổ tới giếng nước, rẽ phải 90 độ bằng đúng cự ly đó ta sẽ có điểm 2 có tọa độ là (1-y, x+1).

Do vậy, trung điểm của điểm 1 và điểm 2, tức vị trí kho báu, sẽ bằng 1/2(y + 1-y, -x + x+1) = (1/2, 1/2), không phụ thuộc vào (x, y).

Với các giá trị khác, ta xác định vị trí có thể có thứ 2 của kho báu là (-1/2, -1/2). Hay nói cách khác, hai vị trí có thể có của kho báu kết hợp với vị trí của giảng đường và giếng nước sẽ tạo thành một hình vuông có đường chéo là đoạn nối giảng đường và giếng nước.

dap-an-bai-toan-truy-tim-kho-bau

TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM

Related Posts:

  • Trường yêu cầu học sinh tự chuẩn bị giấy vệ sinhDanh sách vật phẩm cần mua gửi cho phụ huynh đầu năm học của một trường ở Tây Ban Nha khiến quan chức địa phương phải vào cuộc, theo The Guardian ngày 18/10. Trường tiểu học Rafael Garcia Valino ở Yepes, Tây Ban Nha, v… Read More
  • Cụ bà 101 tuổi về thăm trường đại học Bà Walden trao tặng giấy tờ cá nhân để nhà trường lưu trữ. Ảnh: Dundee University BBC ngày 17/10 đưa tin, bà Anne Walden, 101 tuổi, sinh viên Đại học Dundee khóa 1932-1936, vừa trở lại trường để tham quan bảo tàng … Read More
  • Phản đối xây trạm phát sóng, phụ huynh đồng loạt cho trẻ nghỉ họcNgày 17/10, nhiều phụ huynh có con theo học tại Trường mầm non xã Thành Hưng đã không cho con đến trường nhằm phản đối việc chính quyền chấp thuận cho doanh nghiệp xây dựng trạm thu phát sóng (BTS) gần trường học và khu dân c… Read More
  • Hy vọng về một tương lai tươi sáng“Nhà con nghèo lắm nên chắc phải nghỉ học để bán nước mía giúp mẹ” là câu nói đầy xót xa của em Đặng Hữu Linh học lớp 7B trường THCS Phổ Châu, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi. Gia đình em thuộc diện nghèo của xã. Tuy đứng trướ… Read More
  • Thi học sinh giỏi quốc gia vào tháng 1/2017 Bộ Giáo dục và Đào tạo vừa ra văn bản chỉ đạo việc tổ chức kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT năm 2016-2017. Nội dung thi là kiến thức trong chương trình giáo dục THPT hiện hành và chương trình chuyên sâu các môn c… Read More

Bài viết theo tháng

Tin nổi bật

Đối tác: