11:14:00
Đề bài:
Khuôn viên mới của một trường đại học được xây dựng trong một khu đất hình tròn.
Nhà trường nghiên cứu để đặt 7 bảng thông báo trong trường sao cho khoảng cách từ một vị trí bất kỳ trong trường đến bảng thông báo gần nhất là nhỏ nhất.
Hỏi phải đặt các bảng này ở đâu?
Ở đây cần phát biểu rõ hơn như thế này: Với mỗi điểm A thuộc khuôn viên trường, gọi d(A) là khoảng cách từ A đến bảng thông báo gần A nhất. Gọi d là giá trị lớn nhất trong các khoảng cách d(A). Ta cần xác định các vị trí của 7 bảng thông báo sao cho d nhỏ nhất. Có thể coi khu đất hình tròn có bán kính là 1km.
Giải:
Tương tự như bài toán tìm kho báu lần trước, bài toán bảng thông báo lần này cũng là một bài toán thật sự, không phải đố mẹo. Trong cách đặt tối ưu, từ một vị trí bất kỳ trong khuôn viên trường đến bảng thông báo gần nhất mất không quá 0,5 km. Cách đặt như trong hình.
Nhiều bạn đã có đáp án đúng, nhưng gần như không có ai chứng minh, có lẽ vì đây là bài toán giải trí nên ít bạn quan tâm đến chứng minh. Bài toán này thuộc về lớp bài toán nổi tiếng gọi là các bài toán phủ đĩa tròn, trong đó yêu cầu cơ bản là cho n đĩa tròn bán kính d, tìm d nhỏ nhất sao cho n đĩa này có thể phủ kín đĩa tròn đơn vị.
Trong đề bài, n được chọn bằng 7 và d có đáp án đẹp là 1/2. Chúng tôi giới thiệu một chứng minh đơn giản như sau:
Xem phạm vi bao phủ của một bảng thông báo như một đĩa tròn bán kính r, yêu cầu của bài toán tương đương với việc chỉ ra cách xếp 7 đĩa “nhỏ” này bao phủ hết đĩa “lớn” bán kính 1.0 với r nhỏ nhất có thể.
Ta thấy rằng một đĩa nhỏ chỉ có thể bao phủ một đoạn 2*arcsin(r) trên đường biên của đĩa lớn. Do vậy, nếu r < 1/2 thì arcsin(r) < pi/6, nghĩa là nếu r < 1/2 thì cả 7 đĩa nhỏ phải chạm hết vào đường biên của đĩa lớn. Lúc này, tâm của đĩa lớn sẽ không được phủ (do r < 1/2). Vì vậy, r phải lớn hơn hay bằng 1/2 và ta có cách xếp như trong hình thỏa yêu cầu.
TS Trần Nam Dũng
ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM